Архимед – древнегреческий ученый, который совершил множество открытий в геометрии, физике, инженерии. Он родился в 287 году до нашей эры в городе Сиракузы на острове Сицилия. Будущий ученый родился в небогатой семье, поэтому он получил образование дома. Отец научил его математике, так как сам занимался этой наукой. Он учился в Александрийском университете в Египте. После обучения ученый вернулся в Сиракузы, где прожил до самой смерти. Точная причина смерти Архимеда неизвестна. По легенде, во время Первой Пунической войны в 212 году до н. э. Сиракузы захватили римские войска, римский солдат, не зная Архимеда, отдал приказ увести его к римскому генералу Марцеллу. Ученый отказался, и солдат убил его.
Законы уравновешивания
Это открытие – одно из самых известных. Архимед выяснил, что тело, погруженное в жидкость, теряет вес, равный объему этой жидкости. По легенде ученого призвал царь Герон ІІ и приказал определить, нет ли в королевской короне примесей недрагоценного металла. Царю донесли, что корона была поддельная и сделана не только из золота, которое было выделено на изделие из казны, но и с добавлением серебра. Монарх хотел проверить это, но не знал, как поступить.
Архимед решил подумать об этом во время купания в ванне. Он заметил, что уровень воды поднялся. Ученый понял: попав в воду, тело вытесняет объем жидкости, равный его собственному объему. Архимед так обрадовался, что выбежал из дома без одежды с криками «Эврика!» («Нашел!»). Он взвесил корону, потом опустил ее в воду и высчитал объем, по этим данным высчитал плотность металла, которая позволила определить, из чистого ли золота был царский головной убор. Оказалось, что корона была все же поддельной.
Подробнее о законе Архимеда расскажет эта статья.
Архимедова винтовая лестница
Инженерное изобретение Архимеда использовалось в сельском хозяйстве или строительстве. Оно помогало поднимать грузы снизу-вверх, не прилагая больших усилий. В те времена ее использовали при поливе садов и полей, а также на строительных площадках Древней Греции.
Лестница состоит из цилиндрического вала, на который намотана спиральная лента. При вращении винта человек или груз перемещается вверх или вниз по лестнице.
Метод исчисления фигур
Этот способ также называется методом механического разбиения фигур. Он позволяет находить приближенные значения площадей криволинейных фигур, например, кругов и эллипсов.
Что открыл Архимед? Основная идея метода заключалась в том, что фигуру можно разделить на бесконечное количество маленьких элементов, каждый из которых можно приблизить к простой фигуре, например, к прямоугольнику или треугольнику. Затем площадь каждого элемента суммируется, чтобы получить приближенное значение общей площади фигуры. Используя этот метод, Архимед смог вывести точные формулы для нахождения площадей круга и эллипса, а также для вычисления объемов и поверхностей некоторых тел.
Формула объема шара
С помощью метода исчисления Архимед смог вывести формулу объема шара, которая используется и в современной геометрии.
Архимед использовал метод интегрирования и метод исчисления для решения этой задачи. Он предположил, что объем шара можно разделить на бесконечно маленькие конические сечения, такие, что каждое из них можно рассматривать как конус. Таким образом, он разложил объем шара на серию конусов.
Архимед высчитал объемы конусов по формуле: V = (1/3) * pi * r^2 * h, где r — радиус основания конуса, а h — высота конуса. Далее он проинтегрировал эти объемы по радиусу шара от 0 до r, чтобы получить общий объем шара. В результате интегрирования и применения математических методов, он пришел к формуле: V = (4/3) * pi * r^3.
Конические сечения
Архимед в своих работах уделял внимание коническим сечениям, которые образуются при пересечении плоскости с конусом. Он исследовал три основные категории конических сечений: эллипсы, параболы и гиперболы.
Эллипс образуется, когда плоскость нарезает конус под углом, меньшим, чем угол наклона образующих конус. Парабола возникает при сечении конуса параллельно одной из его образующих. Архимед продемонстрировал свойства парабол и разработал методы для вычисления площадей под параболическими кривыми. Гипербола формируется, когда плоскость сечёт конус под углом, превышающим угол наклона образующих.
Площадь параболы
Как объем шара вычисляется Архимедом через конусы, так и площадь параболы через многоугольники. Он разделял параболу на множество многоугольников, вычислял их площадь, складывал их.
В результате своих исследований Архимед пришёл к выводу, что площадь сечения параболы (например, параболического сегмента) равна двум третям площади прямоугольника, который охватывает этот сегмент.
Метод извлечения квадратного корня
Современные математики (да и просто люди, у которых есть калькулятор) не используют такие методы вычисления. Однако в древнем мире метод Архимеда был поистине революционным, он становится примером того, как древнегреческие ученые находили сложные величины с помощью простых действий.
Архимед решил искать квадратный корень числа путем последовательных приближений. Начиная с какого-то приближенного значения, нужно разделить исходное число на это приближение, затем найти среднее арифметическое между результатом деления и приближением. Этот процесс повторяется несколько раз, пока не получается нужную точность.
Принцип рычага
«Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю», – эта знаменитая фраза принадлежит именно Архимеду. И она иллюстрирует открытый им принцип.
Открытое Архимедом фундаментальное правило механики объясняет равновесие тел на рычаге. Чтобы рычаг находился в состоянии покоя, произведение силы на расстояние от точки опоры (точки вращения) с одной стороны должно быть равно произведению силы на расстояние с другой стороны. Это означает, что если одна сила большая, то расстояние до точки опоры должно быть меньше, и наоборот.
Архимедовы тела
Архимедовы тела представляют собой классы многогранников, образованных посредством соединения правильных многогранников с определенными свойствами симметрии. Архимед описал их как объекты, обладающие равномерной структурой и одинаковыми углами между гранями. Всего существует тринадцать известных Архимедовых тел, каждое из которых сочетает в себе разные многогранники.
Например, тетраэдр – четырехугольник с треугольными гранями. Куб – шестиугольник с квадратными гранями. Октаэдр – восьмигранник с треугольными гранями. Додекаэдр – двенадцатигранник с пятиугольными гранями. Икосаэдр – двадцатигранник с треугольными гранями. Остальные Архимедовы тела возникают из комбинации этих простых многогранников.
Геомерическая оптика
Архимед изучал свойства света. Одним из его самых известных экспериментов стало использование зеркал для фокусировки солнечного света. Архимед предложил концепцию параболического зеркала, которое могло собирать солнечные лучи и концентрировать их в одной точке. Это позволяло достигать высоких температур, что, по легендам, использовалось для поджига судов врагов во время осады Сиракуз. Архимед также изучал законы отражения и преломления света, основываясь на наблюдениях за поведением световых лучей при взаимодействии с поверхностями различных форм.
Архимед – величайший ученый древности, его работы повлияли на других мыслителей от Древнего мира до современности. Современные ученые иногда ищут другие пути для решения задач (хотя бы для извлечения квадратного корня), но без вычислений Архимеда этих путей бы не было.